• Winograd
  • 最大公约数和Euclidean algorithm（续）
  • Bézout’s identity和Extended Euclidean algorithm
  • 中国剩余定理
  • 多项式的Euclidean division和GCD
  • 多项式的CRT
  • Winograd algorithm
  • Winograd for CNN

Winograd

最大公约数和Euclidean algorithm（续）

Euclidean algorithm的步骤如下图所示：

1.假设\(a>b\)，则令\(c:=a \mod{b}\)。

2.如果\(c=0\)，则\(GCD(a,b)=b\)。

3.否则令\(a:=b,b:=c\)，并返回到第1步。

这个算法应该是Euclid记述的前人成果，因为更早的Eudoxus of Cnidus曾提到过这个算法。

Eudoxus of Cnidus，公元前390年～公元前337年，古希腊几何学家、天文学家和地理学家。柏拉图同时代最杰出的数学家。《几何原本》卷Ⅴ和卷Ⅻ主要来自欧多克索斯的工作。

然而，小学课本不使用Euclidean algorithm是有原因的，除了Euclidean algorithm本身相对复杂之外，短除法能同时搞定最大公约数和最小公倍数（Least common multiple），这也是它的教学优势所在。

Euclidean algorithm作为最古老的算法之一，被收录进Knuth的巨著TAOCP。这里的算法，指的是那些根据一定的规则来一步步执行的运算。

Bézout’s identity和Extended Euclidean algorithm

Euclidean division还可以表示为如下形式：

如果\(a'=a \mod(b)\)，则\(a=\lfloor\frac{a}{b}\rfloor b+a'\)。

这里的\(\lfloor x \rfloor\)是向下取整的意思。

我们可以把上述定义扩展到负数。例如：

注意：余数永远\(\ge 0\)。

还可以把GCD的定义扩展为：\(GCD(a,0)=a\)，即任何整数都能整除0。

Euclidean division的定义扩展之后，则有Bézout’s identity。

Bézout’s identity：若a,b是非0整数，\(d=GCD(a,b)\)，则存在整数x,y使得\(ax+by=d\)。证明略。

例如：

Étienne Bézout，1730~1783，法国数学家。法国科学院院士。拿破仑本人就使用过1781年Bézout版的炮兵数学教材。

至于如何求解x,y，这就要用到Extended Euclidean algorithm了。

首先，我们考虑边界情况，当\(b=0\)时，原方程可化为\(ax=GCD(a,0)\)，则：

接着，设\(a'=b,b'=a \mod{b}\)，则由Euclidean algorithm可得：\(GCD(a,b)=GCD(b,a \mod b)\)，因此：

整理得到：

对比系数，可得：

公式1和2合到一起，就是一种迭代算法，也就是Extended Euclidean algorithm了。

从上面的讨论可知，Extended Euclidean algorithm实际上只在Euclidean algorithm之上前进了很小的一步，它的主要内核还是来源于Euclid。

但Euclid之所以不能更进一步，则主要是受制于负数的概念。虽然现在的小学高年级课本中，已经引入了负数，古代中国、印度、阿拉伯也很早就用到了负数，但是西方差不多要到文艺复兴时期，才逐渐接受了负数的概念。

不过反例也是有的，比如无理数，其它文明貌似根本就没有关注过它和有理数究竟有何区别…

参考：

https://blog.sengxian.com/algorithms/gcd-extgcd

欧几里德算法与扩展欧几里德算法

中国剩余定理

Chinese remainder theorem算是初等数论中，一个非常重要的定理了。（初等数论意指使用不超过高中程度的初等代数处理的数论问题，其最主要的工具包括整数的整除性与同余。）

CRT最早出自中国四世纪成书的古书《孙子算经》。著名的娱乐圈学霸关晓彤同学所攻克的“鸡兔同笼问题”，就出自该书。

CRT的内容为：

设\(m_i\)为两两互质（pairwise coprime）的大于1的整数，\(a_i\)为任意整数，则存在x满足：

如果\(0\le x < M,M=\prod_{i=1}^k m_i\)，则该x是唯一的。

CRT的存在性证明略。

这里以如下简单的例子，来讲讲如何求解x。

这个问题的穷举法需要遍历0到M的所有整数，这显然是个十分低效的算法。因此无论手算还是计算机算，基本都不用穷举法。

这里介绍一下筛法（Sieving）：

1.首先对\(m_i\)按降序排序。

2.选择最大的模（这里为5）和对应的\(a_i\)（这里为4）。

3.

4 mod 4 → 0. Continue
4 + 5 = 9 mod 4 →1. Continue
9 + 5 = 14 mod 4 → 2. Continue
14 + 5 = 19 mod 4 → 3. OK, continue by considering remainders modulo 3 and adding 5×4 = 20 each time
19 mod 3 → 1. Continue
19 + 20 = 39 mod 3 → 0. OK, this is the result.

筛法对于M较小的情况，是非常高效的，因此手算一般都采用该法。但是，筛法的复杂度是指数级的，对于M较大的情况，并不好用。

CRT虽然只是初等数论的基本定理，但应用范围很广，Lagrange interpolation（一阶多项式插值）、Hermite interpolation（多阶多项式插值）和Dedekind’s theorem，都用到了CRT。

在中国古代，CRT问题又被称为“韩信点兵”问题。

韩信带1500名兵士打仗，战死约四五百人，站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。韩信很快说出人数：1049。

多项式的Euclidean division和GCD

我们可以仿照整数Euclidean division定义多项式的Euclidean division，如下面的竖式所示：

上式也可写为横式：

其中的\(r(x)\)即为余数。

同样的可以定义多项式的GCD：

则两多项式的GCD为\((x + 1)\)。

不止一位网友问我，为何之前Cook-Toom algorithm的示例中，\(\beta=0,+1,-1,\dots\)？
答：根据多项式的Euclidean division的定义不难看出，任意\(x+i\)和\(x+j\)在\(i\neq j\)的情况下，互相都无法整除，因此它们是线性无关的基。
既然如此，为啥我们不使用\(0,+1,-1,\dots\)这样最简单的情况呢？
下面的Winograd algorithm所采用的构造方法，也是类似的。

多项式的CRT

CRT亦可改为如下等效形式：

其中\(m_i\)两两互质，\(c_i=R_{m_i}[c],M=\prod_{i=0}^km_i,M_i=M/m_i\)，\(N_i,n_i\)是方程\(N_i M_i + n_i m_i = GCD ( M_i , m_i ) = 1\)的解。

显然这里的\(N_i,n_i\)可以使用Extended Euclidean algorithm求解。

例如：

稍加扩展，可得到多项式版本的CRT：

其中\(m^{(i)}(p)\)两两互质，\(c^{(i)}(p)=R_{m^{(i)}}[c(p)],M(p)=\prod_{i=0}^km^{(i)}(p),M^{(i)}(p)=M(p)/m^{(i)}(p)\)，\(N^{(i)}(p)\)是方程\(N^{(i)}(p) M^{(i)}(p) + n^{(i)}(p) m^{(i)}(p) = GCD ( M^{(i)}(p) , m^{(i)}(p)) = 1\)的解。

Winograd algorithm

下面以一个2x3的卷积为例，介绍一下Winograd algorithm的做法。

2x3卷积的多项式形式为：

这里引入多项式（polynomial）的度（degree）的概念：多项式中包含的最高次项的次数，被称为多项式的度。

例如，上面的\(h(p)\)的degree为1，而\(x(p)\)的degree为2，而\(s(p)\)的degree为3。

和Cook-Toom algorithm一样，Winograd algorithm也是一个构造式的算法。

Step 1：首先要构造一个degree大于等于3的多项式：

其中的\(m^{(i)}(p)\)两两互质。

这里为了简单起见，不妨令\(m(p)=p(p-1)(p+1)\)，并使用Extended Euclidean algorithm构建如下计算表格：

Step 2：使用如下公式计算\(h^{(i)}(p),x^{(i)}(p)\)：

计算过程如下：

Step 3：使用如下公式计算\(s'^{(i)}(p)\)：

计算过程如下：

Step 4：根据公式3计算余数\(s'(p)\)，并利用如下公式计算被除数\(s(p)\)：

计算过程如下：

这里用4个乘法和7个加法，替代了6个乘法和2个加法。

总的来说，Winograd algorithm是一个很复杂的算法，但是结论却很简单。因此，在具体的IC实现中，一般只针对特定常用尺寸的kernel，应用相应的结论即可。

Winograd这个知识点的复杂，其实主要还不在于算法本身，而是在于其前置了很多数论方面的知识。而我恰恰不具备这些知识，因此进展极度缓慢，前后用了近20天才看完了相关的内容。。。不过，收获很大^_^

Winograd for CNN

CNN中的Winograd算法一般使用如下论文的结论：

《Fast Algorithms for Convolutional Neural Networks》

该文引论部分提到了Winograd算法的结论，该结论和本文上述的算法步骤略有不同，最初是Winograd针对FIR提出的Minimal FIR Filtering算法。但是算法的本质是相同的，仍然是构建多项式和CRT。