数学狂想曲（十四）——数学的深渊, Wavelet & Chirplet, Lanchester战争模型
2019-10-06软件滤波算法（续）
限幅平均滤波法
方法：相当于“限幅滤波法”+“递推平均滤波法”，每次采样到的新数据先进行限幅处理，再送入队列进行递推平均滤波处理。
优点：融合了两种滤波法的优点，对于偶然出现的脉冲性干扰，可消弭由于脉冲干扰所惹起的采样值偏差。
缺点：比较浪费RAM。
一阶滞后滤波法
方法：取a=0~1，本次滤波结果=(1-a)本次采样值+a上次滤波结果。
优点：对周期性干扰具有良好的抑制造用，适用于波动频率较高的场合。
缺点：相位滞后，灵敏度低，滞后程度取决于a值大小，不能消弭滤波频率高于采样频率的1/2的干扰信号。
加权递推平均滤波法
方法：这是对递推平均滤波法的改进，即不同时刻的数据加以不同的权，通常是，越接近现时刻的材料，权取得越大，给予新采样值的权系数越大，则灵敏度越高，但信号平滑度越低。
优点：适用于有较大纯滞后事件常数的对象和采样周期较短的系统。
缺点：对于纯滞后事件常数较小，采样周期较长，变化缓慢的信号，不能迅速反应系统当前所受干扰的严重程度，滤波效果差。
消抖滤波法
方法：设置一个滤波计数器，将每次采样值与当前有效值比较：如果采样值等于当前有效值，则计数器清零。如果采样值不等于当前有效值，则计数器+1，并判断计数器能否>=下限N(溢出)，如果计数器溢出，则将本次值交换当前有效值，并清计数器。
优点：对于变化缓慢的被测参数有较好的滤波效果，可避免在临界值附近控制器的反复开/关跳动或显示器上数值抖动。
缺点：对于快速变化的参数不宜，如果在计数器溢出的那一次采样到的值恰好是干扰值，则会将干扰值当作有效值导入系统。
限幅消抖滤波法
方法：相当于“限幅滤波法”+“消抖滤波法”，先限幅后消抖。
优点：承继了“限幅”和“消抖”的优点，改进了“消抖滤波法”中的某些缺陷，避免将干扰值导入系统。
缺点：对于快速变化的参数不宜。
IIR数字滤波
方法：确定信号带宽，滤之。
\[Y(n)=a_1*Y(n-1)+a_2*Y(n-2)+...+a_k*Y(n-k)+\] \[b_0*X(n)+b_1*X(n-1)+b_2*X(n-2)+...+b_k*X(n-k)\]优点：高通，低通，带通，带阻任意。design简单(用matlab）。
缺点：运算量大。
数学的深渊
当然，类似的还有个AI的深渊：
最近（2019.7）新出了一个加强版的数学的深渊：
其他深渊：
https://mp.weixin.qq.com/s/l1_Met_1mCltmoJ-ISWeSg
压力太大，不想工作？那就下海摸鱼吧
https://mp.weixin.qq.com/s/UJH2vSmsRnF2zyiuAr4zmg
太震撼了！2600年数学文明画在了一张图上
一道证明题
设A、B、C为任意可数有限集合，则
\[size(A-C)\le size(A-B)+size(B-C)\]其中\(size(X)\)表示集合X中的元素个数。
证明：
\[\begin{array}\\ A-C=\{x\mid x\in A \cap x\notin C\}=\{x\mid x\in A \cap (x\in B \cup x\notin B)\cap x\notin C\}\\ =\{x\mid (x\in A \cap x\notin B \cap x\notin C) \cup (x\in A \cap x\in B \cap x\notin C) \}\\ \subseteq \{x\mid (x\in A \cap x\notin B) \cup (x\in B \cap x\notin C) \}=(A-B)\cup (B-C) \end{array}\]又因为：\(size(X\cup Y)\le size(X)+size(Y)\)，所以
\[size(A-C)\le size((A-B)\cup (B-C))\le size(A-B)+size(B-C)\]莫比乌斯反演
August Ferdinand Möbius，1790～1868，德国数学家、天文学家。University of Leipzig毕业后，曾在University of Göttingen访学，导师Gauss。University of Leipzig教授，Leipzig天文台台长。
http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292
莫比乌斯反演
http://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050
初涉莫比乌斯反演
http://blog.csdn.net/u013632138/article/details/52250567
莫比乌斯反演讲解
http://blog.csdn.net/Ripped/article/details/70263965
莫比乌斯反演详解
http://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/51659994
莫比乌斯反演入门
http://blog.csdn.net/outer_form/article/details/50588307
莫比乌斯反演定理证明
https://zhuanlan.zhihu.com/p/36390998
Möbius inversion and Dirichlet convolution
Mobius Band可能是Mobius更著名的发现。
类似的还有Klein bottle。
Felix Christian Klein，1849~1925，德国数学家。University of Bonn博士（1868），先后执教于Institute of Technology in Munich、Universities of Leipzig、Göttingen。
需要注意的是，Mobius Band一种2维变换，所以可以映射到3维空间，而Klein bottle本身是3维变换，只有在4维空间才能看到它的真面目，所以克莱因瓶实际上是造不出来的。
https://www.zhihu.com/question/23922861
克莱因瓶能否制造出来？
参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/E-I_3C-3m0KTI1XjYaKWcA
陶哲轩挑战失败的百年数学问题，被两名在家隔离的数学家破解了。（任何简单闭合环路，是否总能在其上找到四个点形成一个任意长宽比矩形？）
Wavelet & Chirplet
除了Fourier Transform之外，Wavelet Transform和Chirplet Transform也是信号处理中常见的变换。
| 名称 | 基函数 |
|---|---|
| Fourier Transform | 正弦波 |
| Wavelet Transform | 平方可积函数 |
| Chirplet Transform | 频率随时间变化的函数 |
Chirplet Transform在音频处理方面用的较多，因为人声和无线电通信不同，没有低频信号调制到高频信号的过程。
参考：
https://blog.csdn.net/sinat_26545113/article/details/78835038
什么是chirp信号
https://zhuanlan.zhihu.com/p/66189212
从傅立叶变换进阶到小波变换（一）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/66246381
从傅立叶变换进阶到小波变换（二）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/68323379
从傅立叶变换进阶到小波变换（三）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/69956002
从傅立叶变换进阶到小波变换（四）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818
小波变换
Lanchester战争模型
第一次世界大战期间，英国工程师Lanchester针对战争问题建模，以预测战争的结果。
Frederick William Lanchester，1868～1946，被誉为英国三大最杰出的汽车工程师之一。英国皇家学会会员。
该模型包含了两个子模型：
Lanchester’s linear law：假设双方的装备能力相当，则单位时间内的损失，和战线的长度成正比，且双方损失的数量相等。这个模型主要适用于远程兵器威力有限的古代战争，古代战争以短兵相接的肉搏战为主。而肉搏战的特点就是一对一。
Lanchester’s square law：现代战争越来越立体化，因此是个多对多的模型。
首先，我们假设A军在战斗开始后的t时刻有\(x(t)\)人，B军在战斗开始后的t时刻有\(y(t)\)人，且每支军队的减员均由敌方攻击造成，减员速率与敌方人数成正比。忽略增员部队与非战斗减员，我们可以根据双方的减员速率列出如下的微分方程组：
\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-by\tag{1}\] \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-cx\tag{2}\]在上述微分方程组中，b与c分别代表B军与A军的单兵作战效率，即每个战士在单位时间内干掉的敌军数量。我们可以用这个量来代表士兵的“质量”或“效率”，显然这个量与军队的武器水平，指挥员的指挥水平与战士的单兵素质有关。
用公式2除以公式1，得：
\[\cfrac{\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}}{\cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}=\frac{-cx}{-by}\] \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{cx}{by}\] \[by\mathrm{d}y=cx\mathrm{d}x\]两边同时求t的定积分：
\[\int_{t_0}^t by(t)\mathrm{d}y(t)=\int_{t_0}^t cx(t)\mathrm{d}x(t)\] \[b\int_{y_0}^y y\mathrm{d}y=c\int_{x_0}^x x\mathrm{d}x\] \[by^2-by_0^2=cx^2-cx_0^2\] \[by^2-cx^2=by_0^2-cx_0^2=K\]我们可以由b，c，与双方初始人数\(y_0，x_0\)计算出K值。显然：
当K=0时，A、B平手。
当K>0时，B胜。
当K<0时，A胜。
Lanchester模型是一个连续模型，但实际战斗，尤其是海战，一般是离散模型，这时就要用到Salvo combat model了。
比如中途岛战役，美国在击沉日本3艘航母之后，遭到日本飞龙号的反击，损失了约克城号，直到第二波攻击，才最终将飞龙号击沉。
参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/npprTz_GRgdv3BK7ff2grg
Lanchester战争模型：用可分离变量的微分方程占卜战事
https://scienceasdf.gitee.io/programming/2015/11/02/tank/
红警坦克作战效能模拟平台
数学杂谈
日心说这个东西，现在的人总觉得古人脑子怎么不开窍，老以自己为中心，而没有想到地球围绕太阳转。
其实日心说，古代就有。之所以不流行，是因为遇到了托勒密这个大牛，这哥们对球面几何和三角函数都研究的很深，发明了最早的三角函数表。
托勒密的著作中不但建立了地心说模型，而且还有数学推导。这也使得他的反对者，长期以来搞不定他。
就是哥白尼，其实也没有能翻案。真正搞定托勒密，要等到开普勒时代了。
参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/jIlE6VDlgOgoIpUBiGzF5w
他（Claude Ptolemy）是被埋没了1300年的超级学霸，却凭一己之力，影响世界，改变人类文明！
