math » 数学狂想曲（十八）——Gabriel's Horn
2021-07-22 :: 4102 WordsGabriel’s Horn
Gabriel’s Horn，又名托里拆利小号（Torricelli’s trumpet），是数学史上非常经典的模型。它最早由Evangelista Torricelli提出，故名。
Evangelista Torricelli，1608~1647，意大利物理学家和数学家。主要研究气压、水压，提出了托里拆利原理，并发明了气压计。
上图是Gabriel’s Horn的图像，它由\(y=\frac{1}{x}(x>1)\)绕x轴旋转得到。Torricelli发现Gabriel’s Horn是个体积有限，而表面积无限的形状。
\[V=\pi\int\limits_1^a\left(\frac{1}{x}\right)^2\mathrm{d}x=\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)\] \[\lim_{a\to\infty}V=\lim_{a\to\infty}\pi\left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi\cdot\lim_{a\to\infty}\left(1-\frac{1}{a}\right)=\pi\] \[A=2\pi\int\limits_1^a {\frac{1}{x}}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\mathrm{d}x > 2\pi\int\limits_1^a \frac{\mathrm{d}x}{x}=2\pi\ln(a)\] \[\lim_{a\to\infty}A\ge\lim_{a\to\infty}2\pi\ln(a)=\infty\]但是反过来的情况，即表面积有限，而体积无限的情况，也就是所谓的Gabriel’s horn逆现象，是不存在的。——实际上，众所周知的是表面积一定的形状中，球形体积最大。
Gabriel’s horn现象不仅存在于表面积/体积中，也存在于长度/面积中，即所谓的无限长海岸线问题。对此的进一步研究，开拓了数学中的分形几何领域。
数学杂谈
一个函数的八阶导数等于其本身，并且其2-7阶导数均不等于他本身，这个函数的表达式可以是怎样的？
f(x)=exp(exp(iπ/4)*x)
此函数在复平面上求导时会转呀转，八下转一圈，刚好回到原点。
有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoulli。”
那个人当时就怒了，说：“我还是Isaac Newton呢。”
Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
有种素数叫做“工业级素数（Industrial-grade primes）”，定义是没有经过严格数学证明、但是通过了“可能素数判定法”（比如米勒-拉宾判定法）的整数。用这种方法判定大整数是否是素数不是完全准确，但速度非常快，而且不会漏掉任何素数。RSA加密法所需的大素数生成方式就很明显了：随机生成大整数，如果判断这个数可能是素数，再用精确但速度慢的素数判定法来判断这个数是否真的是素数。
https://www.zhihu.com/question/54779059
RSA生成公私钥时质数是怎么选的？
当我在32岁成为哈佛大学终身教授的时候，终于有时间学习如何运算了——是如坐针毡地和一群年龄仅仅是我的一半多点的大学小鬼们一起上课。他们中的一些人还在上我执教的进化生物学。我将自尊搁置一边，来学习微积分。当在追赶中学习时，成绩拿C都费劲。—By Edward Osborne Wilson
Edward Osborne Wilson，1929年生，美国生物学家，以研究蚂蚁著称，被称为生物社会学之父。同时也是一名杰出的科普作家，两获Pulitzer Prize。
对于三阶魔方，单说位置的话，还原状态下所有块的位置都是固定不变的，只是中心块的方向可能会不一样（原地旋转）。
https://www.zhihu.com/question/346942533
每一次拼好魔方后小方块的位置都是固定的吗？
如果n个人完全随机分n块蛋糕，当人群n足够大时，一个蛋糕都没有的人的比例大约为1/e。
有两个天气预报站A和B，各自独立地进行预测，互相完全不知道对方。
根据历史统计，当A预报第二天下雨时第二天真的下雨的概率是0.9，当B预报第二天下雨时第二天真的下雨的概率是0.8。现在A和B都预报明天下雨，那么明天下雨的概率是多少？
“独立预测”在现实生活中的意思，是说两站根据各自观测到的数据，不参考对方的预测结果而进行预测。这的确可以理解为一种条件独立，但这里的条件是自然界中可以被观测到并用来预测下雨与否的现象，而不是下雨与否这个结果。
两个气象站都不笨，它们的预测都是有根据的，往往会出现“英雄所见略同”的情况，这就不独立了。
https://www.zhihu.com/question/25360634
一道困惑很久的概率问题，这道题是有解还是本身题目就有问题？
复数从1维到2维，可以轻松处理平面旋转。
四元数从2维到4维，可以完美描述三维空间中的旋转。
八元数从4维到8维，其交错特性反而与例外李群和弦论中的超对称性联系起来了。
https://www.zhihu.com/question/663297604
复数丢失全序性，四元数丢失交换律，八元数丢失结合律，十六元数丢失交错性
1917年，奥地利数学家拉东（Johann Radon）写了一篇纯数学论文，证明了一件事：如果知道一个二维函数在所有直线上的积分值，就能反推出这个函数本身长什么样。他自己都没觉得这件事有什么用，文章发出来之后几乎没人引用。50多年过去了，没人想到这个抽象问题能跟什么现实事物对上。
1971年，英国EMI公司的工程师豪斯菲尔德（Godfrey Hounsfield）造出了第一台CT扫描机。讽刺的地方在于：豪斯菲尔德不知道拉东的工作。同时期独立做这件事的物理学家科马克（Allan Cormack）也不知道。两人各花了十几年时间重新发现了1917年那篇论文里已经证明过的定理。
CT出来之后，业内才回头翻文献，看见拉东这个名字。1979年豪斯菲尔德和科马克拿了诺贝尔医学奖。1917年拉东那篇论文，从此成为医学影像、地震勘探、电子显微镜三维重建、雷达成像所有领域的数学底座。拉东自己1956年就去世了。他活着的时候，这件事还没发生。
https://mp.weixin.qq.com/s/oEhG7AaY_TAljvhhK5YfNA
拉东变换与医学CT技术
大家都知道传统数学家看不起珠算，一定要坚持用筹算，就像现代很多数学家觉得计算物理不如手推公式高级一样。所以明朝著名算经都不是传统的文人数学家写的，而是商人，比如程大位、王文素等。实用珠算确实推动了商业社会的大发展，代价则是过去那些抽象化的努力许多都白费了。李冶等人的著作直到清末才被重新发掘，很长时间里没人能正确解读。
https://mp.weixin.qq.com/s/rM78u0bF2bqI7eQ4t6lxpw
国内奇葩小学数学题横扫推特，老外被难哭了
https://mp.weixin.qq.com/s/SV3A5tFtZyWgTVXW-1s74w
数学，原来可以这么美！
https://mp.weixin.qq.com/s/xVzLUDmDlnzyGtbReoHDuQ
曾被无视多年，却成就19世纪最伟大的一场革命，影响了整个世界！（非欧几何）
https://www.sohu.com/a/284210653_161479
日本大学生把数学“玩坏”：为了画好一只乳房，也是拼了！
https://www.zhihu.com/question/20866833
为什么正多面体只有5种？
https://mp.weixin.qq.com/s/qfbfzToypKTxh7CxJ0ifHw
正十二面体的一个最基本谜题被破解了
https://mp.weixin.qq.com/s/uptfQb8ELfpb5P4ySvofpg
一个被我们“嫌弃”了23年的数学天才，累死才知道他的价值（陆家羲）
https://mp.weixin.qq.com/s/wMARrGbRanB2T0NIxISspA
有趣的数学可视化
https://mp.weixin.qq.com/s/T6ukSjODiTgC1T4pCZCY9g
2，29，541，7919，104729……（素数的故事）
https://mp.weixin.qq.com/s/YD6fnPYkqXwxTISjN99JxQ
美国数学能出很厉害的大神，为什么学的却比我们简单？看了他们的黑历史就明白了……
两弹一星+
国内的特高压换流变有两条技术路线，一条是abb技术路线，一条是西门子技术路线。
乌克兰扎波罗热变压器研究所曾是世界最大的变压器研究所。2002年沈阳变压器厂曾引入过该所的交流特高压变压器技术。
80年代为什么要研究铜壳弹，单纯是因为当时生产的枪械和子弹公差大，底火密封不严，导致子弹卡壳率高，换成有自润性延展性的铜壳弹后解决了公差的问题，但是又由于自动机构的结构问题，抽壳力度过大，导致铜壳变形，最后索性全给换了。实际上，苏联原版的德什卡机枪、AK47自动步枪、SKS半自动步枪最初都是打铜壳弹的，后来换成了覆铜钢壳，涂漆钢壳都没问题，结果国内生产的54式高射机枪和56式自动和半步枪由于生产工艺问题，打啥子弹都卡壳。
苏联设计的武器通常结构简单，但是加工难度大，对工艺的要求非常高，工艺不到位很容易出各种奇怪的问题，比如AK47通常被认为是一种廉价且可靠的武器，号称在越南丛林中永不卡壳，永不生锈的。但是AK47的机匣使用的是成本昂贵的切削工艺，机匣零件不规则，加工起来非常费劲，最后还要镀铬，国内的工艺达不到要求，56式自动步枪由于没有镀铬，在越南的丛林里经常生锈；再加上枪管的镍含量不稳定，强度不够，可靠性跟苏联原版的差远了。
您的打赏，是对我的鼓励
