math » 数学狂想曲（十二）——复变函数, 数学杂谈（2）
2018-12-14 :: 5133 Words复变函数
1.复球面表示。
2.条件严格性。
点域：连续<可导（可微）<可解析
区域：连续<可导（可微）=可解析
由于复平面的存在，极限\(z\to z_0\)中，趋向于点\(z_0\)的路径有无穷多种，必须所有路径的极限都存在且一致，才可以说极限\(z\to z_0\)存在。
3.函数可微的充要条件：Cauchy-Riemann Equations
若\(f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y)\)可导，则：
1）\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)在点\((x,y)\)可导。
2）
\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]4.复数在场论描述中的应用。
参考：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/74528525
一个复变函数的专栏
复数求导
信号处理领域，很多需要求导的函数往往是不解析的。比如一系列的二乘loss：MSE、LS、WLS等。这些函数都包含\(\mid e(k)\mid^2=zz^*\)的成分。然而，这个函数是不可导的。
\[zz^*=x^2+y^2\]所以
\[\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\frac{\partial v}{\partial x}=0\]上式显然不满足Cauchy-Riemann Equations，因此函数不可导。
上述结论我们也可以另一个角度观察。
假设\(f(z)\)解析，则\(f(z)\)可展开为z的Taylor级数。而这个展开式不包含\(z^*\)。即一个解析的复变函数只和z有关，而和\(z^*\)无关。
因为实函数必须同时依赖z和\(z^*\)，否则虚部无法被消掉。因此，实函数\(f(z)\)都是不解析的。
所以，Cauchy-Riemann Equations也可以写成\(f(z^*)=0\)。
参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/SUWUAMQjSuB5Gs06SPliTQ
复数求导在信号处理中的应用
Hermite矩阵
复数矩阵通常不能直接转置，而必须进行共轭转置。共轭转置（Conjugate transpose）也叫做Hermite转置，用\(A^H\)表示。
如果\(A=A^H\)，则A被称为Hermite矩阵。
Charles Hermite，1822～1901，19世纪下半叶法国最著名的数学家，代数学领域的宗师级人物。Henri Poincaré的导师。他首先证明了e是超越数。以他的名字命名的数学术语竟达10项之多。
Hermite虽然不是如某些地摊文学所言，一遇考试就跪。但是的确不太擅长考试，大学（他考的大学类似国内的清北的地位）入学成绩排在第68位，完全没有学神的风范。相比之下，Poincaré的入学成绩可是排第一位的。尽管就成就而言，Hermite绝不逊于Poincaré。
参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/MXHCVFW2mMw7PqMuHB_5Tw
他擅长解决数学难题，却视考试成为终生噩梦
复变积分
反常积分（Improper Integral）又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分（简称无穷积分），后者称为瑕积分（Singular Integral，又称无界函数的反常积分）。两者兼有的则被称为混合广义积分。
如果存在正数\(\theta\)，使得任意\(\theta>\delta>0\)，都有函数\(f(x)\)在\(x_0\)的左领域\((x_0-\delta,x_0)\)内无界或函数\(f(x)\)在\(x_0\)的右邻域\((x_0,x_0+\delta)\)内无界，则称点\(x_0\)为\(f(x)\)的一个瑕点（Singular Point）。
无穷积分定义：
\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{N\to +\infty,M\to -\infty}\int_{M}^{N}f(x)\mathrm{d}x\]对应的Cauchy Principal Value的定义为：
\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{M\to +\infty}\int_{-M}^{M}f(x)\mathrm{d}x\]类似的，瑕积分的Cauchy Principal Value定义为：
\[\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}x=\lim_{\delta\to 0+}\left(\int_{a}^{c-\delta}f(x)\mathrm{d}x+\int_{c+\delta}^{b}f(x)\mathrm{d}x\right)\]其中，c为瑕点。
Cauchy Principal Value有什么用呢？
以\(f(x)=\sin(x)\)为例，无穷积分
\[\lim_{N\to +\infty,M\to -\infty}\int_{M}^{N}\sin(x)\mathrm{d}x\]发散。
而Cauchy Principal Value：
\[\lim_{M\to +\infty}\int_{-M}^{M}\sin(x)\mathrm{d}x=0\]参考：
https://www.zhihu.com/question/419790453s
一道积分题
https://blog.csdn.net/qq_45011547/article/details/90147363
反常积分的性质与收敛判别
https://mp.weixin.qq.com/s/JGhAp4FPmEjwOpI4EsXe0A
留数定理与积分
https://www.zhihu.com/question/593230446
留数定理能和安培环路定理联系起来吗？
数学杂谈
https://mathworld.wolfram.com/
一个数学宝库
有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天，他很谦虚的自我介绍：“我是Daniel Bernoullis。”
那个人当时就怒了，说：“我还是Issac Newton呢。”
Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历，把他当作他曾经听过的最衷心的赞扬。
https://mp.weixin.qq.com/s/6hs0pqHqqg46wWL0rlgKJQ
数学家轶闻录
Klein和Poincare都在研究自守函数什么的，对于2维的情况，Poincare把自己的结果用Fuchs的名字来命名，因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响，Klein感到特别的不爽，他也得到了这样的结果。然而，Fuchs本人对此却一无所知，如此冠名，他自然觉得很不妥。
后来，他和Poincare分别做3维的情况，无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度，体力不支，身体都垮了，从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这个东西，于是把3维自己得到的群命名为Klein群。
https://mp.weixin.qq.com/s/rwKi8bKeGKiJg5WcZwRhlA
听说这家粉笔厂倒闭，世界顶级数学家们开始疯狂囤货
一小学数学老师布置作业，让学生抛硬币200次，记录它们的正反面，第二天以书面的形式交给老师检查，很多同学偷懒故意制造“随机性”，但是老师看一眼就知道哪个同学是认真记录，哪个是自己胡乱编的。
因为随机丢200次硬币，连续出现6次连续为相同一面的概率，可通过计算得到高达99.8%，抛200次硬币出现6次连续为相同一面的事件极大可能发生。
当初举办数学家大会前一年，陈省身希望国家领导能接见下当时在南开的几位国际数学家。报告打上去，中央办公厅的回复说领导那段时间有很多重要会议参加，没空接见。陈等人不死心，拖关系传信儿，领导知道后立刻同意亲自接见，并答应出席国际数学家大会。
Boris Pavlovich Demidovich，1906～1971，苏联数学家。Moscow State University教授。代表作品：《Problems in Mathematical Analysis》。
Vladimir A. Zorich，1936年生，苏联数学家。Moscow State University教授。代表作品：《Mathematical analysis》。
http://www.matrix67.com/
一个数学blog
卡尔.皮尔逊在皇家科学院宣读过的获奖文章，由于数学过多，被生物学家们认为不适合在生物杂志发表。于是，1901年，由高尔顿成立的生物统计信托基金慷慨资助，高尔顿、威尔登以及皮尔逊三人共同担任编委，统计学界最具有影响力的杂志之一——《生物统计》（Biometrika）就此诞生了。
费希尔早期写的一类文章数学性非常强——使用大量的数学符号，一页里有一多半都是数学公式。这样的文章对大众几乎是“令人生畏”的，就是数学基础不弱的同时代统计界大拿前辈们（戈塞特、皮尔逊）也在通信中直接表示：看不懂。
费希尔的成功，与新的写作风格大有关系。他1925年出版的在农业和生物领域影响深远的名作《研究工作者的统计方法》完全没有公式推导和证明！他显然预估了读者群，觉得最省力的方法就是“不证明”，结果也确实非常成功。这些工作很快在科学界流行，且需求量非常大。你只需要对一个实验室技术员进行最低限度的数学培训，他就可以使用这些书中提供的方法。
好用归好用，成功归成功，但费希尔的工作（特别是其背后的原理和思想）几乎是公认的难于理解。1945年，瑞典数学家克拉默写了一本书《统计学的数学方法》，对费希尔很多说法提供了具体证明过程。此书一经发表就成为人们解读费希尔的范本和经典。
1970年，耶鲁大学的萨维奇又重新研究了费希尔的原始论文，发现了克拉默遗漏的许多东西；他甚至惊奇地发现，费希尔早已完成了人们后来做的一些工作，而且解决了20世纪70年代许多仍然没有解决的问题。
漫谈现代统计“四大天王”：
https://mp.weixin.qq.com/s/fuHLVyjt2iRYBEjRH8u8ig
卡尔.皮尔逊
https://mp.weixin.qq.com/s/pgD1Jh-DHdpT3lgBUrg1hg
费希尔
https://mp.weixin.qq.com/s/tfEcWGp0BjIid-b2EqvrkA
埃贡.皮尔逊（Egon Pearson）
https://mp.weixin.qq.com/s/tmkqSxkk4mGjkJIKwtov7g
内曼（Jerzy Neyman）
June Huh是一位“半路出家”的数学家。少年时期数学成绩不理想，自认为没有数学天赋，他最爱文学，写过诗歌、小说，梦想成为一名诗人。但在首尔大学读书时，发现诗人身份不能谋生，便打算做一名科学记者，主修天文学和物理学。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/537898439
2022年“菲尔兹奖”授予这4位年轻人！
无理数的无理数次方是可以为整数的：
\[\sqrt{2}^{log_2{9}}=3\]https://www.zhihu.com/question/583941606
对指数塔π^π^π^π^……，有没有可能叠到某一层数的时候值为整数？
有两个天气预报站A和B，各自独立地进行预测，互相完全不知道对方。
根据历史统计，当A预报第二天下雨时第二天真的下雨的概率是0.9，当B预报第二天下雨时第二天真的下雨的概率是0.8。现在A和B都预报明天下雨，那么明天下雨的概率是多少？
“独立预测”在现实生活中的意思，是说两站根据各自观测到的数据，不参考对方的预测结果而进行预测。这的确可以理解为一种条件独立，但这里的条件是自然界中可以被观测到并用来预测下雨与否的现象，而不是下雨与否这个结果。
两个气象站都不笨，它们的预测都是有根据的，往往会出现“英雄所见略同”的情况，这就不独立了。
https://www.zhihu.com/question/25360634
一道困惑很久的概率问题，这道题是有解还是本身题目就有问题？
您的打赏，是对我的鼓励
