数学狂想曲（一）——搞笑图片的数学原理, 欧拉公式
2016-11-27搞笑图片的数学原理
这是一个在各论坛流传已久的图片。这个题目的描述虽不复杂，但仅凭大学本科的高等数学，实际上是搞不定这个问题的。
首先需要明确的是，上图中的被积函数\(\frac{1-\cos x}{x^2}\)的原函数不是初等函数，因此无法使用牛顿-莱布尼茨公式，求解该积分值。
它的解法其实图片中已经给出了线索，那就是傅立叶变换的能量积分公式。
以下是推导步骤：
由半角公式：
\[2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x\]可得：
\[\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2\cdot\sin^2\frac{x}{2}}{4\cdot\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\]查常用函数的傅立叶变换表，可得：
代入能量积分公式，可得：
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\mathrm{d}x=2\pi\int_{-\infty}^{+\infty}(rect(t))^2\mathrm{d}t=2\pi\cdot 1\]因此：
\[\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1-\cos x}{x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi\]实际上，这类积分都是Dirichlet积分的变种，解法也不止一种。
参见：
http://wenku.baidu.com/view/bb9c8ffe910ef12d2af9e71a.html
关于Dirichlet积分的十种计算方法
http://wenku.baidu.com/view/1b47c415cc7931b765ce1547.html
常用函数傅立叶变换表
下面回到原题，何为“能量积分”呢？
由电学的功率公式和欧姆定理可得：
\[W=UI=\frac{U^2}{R}=I^2R\]可见，无论\(f(t)\)表示电压U，还是表示电流I，\([f(t)]^2\)都和功率成正比，即\(\int[f(t)]^2\mathrm{d}t\)和能量成正比。
傅立叶变换的能量积分公式的物理意义是：同一信号的时域能量积分等于它的频域能量积分。通俗的说就是一个信号的能量，既可以看作是一段时间内信号能量的总和，也可看作是该信号各个频率分量的能量总和。
在历史上，该公式由Marc-Antoine Parseval于1799年发现，最初主要用于研究复变函数，后来才应用到傅立叶变换和信号处理领域。
它的更一般的描述为：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。
注：Marc-Antoine Parseval des Chênes，1755～1836，法国数学家。曾5次参选法国科学院院士，但都落选了。
欧拉公式
由于欧拉大神的贡献很多，数学上以其命名的公式也有很多，而且知名度都不低。日常使用时，如果不以领域做区分，人们根本就不知道谈论的是哪个欧拉公式。
这里主要讨论复变函数领域的基石——欧拉公式：
\[e^{ix}=\cos x + i \sin x\]自然对数e
在讨论欧拉公式之前，首先要理解一下自然对数e的含义。
推荐阅读以下文章：
https://www.zhihu.com/answer/29370489
数学里的e为什么叫做自然底数？是不是自然界里什么东西恰好是e？
这里对上文中的要点做一个摘要。
假设你在银行存了1元钱（下图蓝圆），很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！
银行一般1年才付一次利息，根据下图，满1年后银行付给你1元利息（绿圆），存款余额=2元
银行发善心，每半年付利息，你可以把利息提前存入，利息生利息(红圆)，1年存款余额=2.25元
假设银行超级实在，每4个月就付利息，利息生利息(下图红圆、紫圆)，年底的余额≈2.37元
假设银行人品爆发，一年365天，愿意天天付利息，这样利滚利的余额≈2.71456748202元
假设银行丧心病狂的每秒付利息，你也丧心病狂的每秒都再存入，1年共31536000秒，利滚利的余额≈2.7182817813元
这个数越来越接近于e了！
哎呀！费了半天劲也没多挣几个钱啊！
对！1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是e，即：
\[e=\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\]自然对数的研究历史
上面例子的体例，和现行教科书类似，都是直接以极限方式定义e。然而，这并不是自然对数在历史上的研究路径。
从利息出发的复利计算，或者说求高次幂运算，在历史上催生了最早的对数表（1614年）。然而，这个问题本身和e并无直接关联，使用常用对数同样可以求解复利问题。
真正催生自然对数e的是对数表的编制过程。
对于那时期的人们来说，编制对数表是件巨大的工程，常需要花费数学家数年，甚至数十年的时间。
在大量的实践中，人们发现采用\(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n,n \gg 0\)为底，可以很大程度的节省计算量。
事实上，最早的几个对数表的作者中，纳皮尔采用\(\left( 1 + \frac{1}{10^7} \right)^{10^7}\)的倒数为底，而比尔吉采用\(\left( 1 + \frac{1}{10^4} \right)^{10^4}\)为底。这两个数分别是\(\frac{1}{e}\)和e的近似值。
从e到欧拉公式
早期的对数表作者虽然已经不自觉的享受e的好处，然而他们并没有明确发现或定义e。
e的定义有赖于微积分的发展。
十七世纪上半叶是微积分的萌芽时期，也可称为前牛顿-莱布尼茨时期。这里所提到的数学家，实际上只比牛顿、莱布尼茨，早一到两代人。
比如费马（Pierre de Fermat）在1636年之前，就知道：
\[\int_0^ax^n\mathrm{d}x=\frac{a^{n+1}}{n+1},n\neq -1\]于是人们自然会去思考：
\[\int_0^a\frac{1}{x}\mathrm{d}x=?\tag{1}\]两个耶稣会教士Grégoire de Saint-Vincent和Alphonse Antonio de Sarasa发现：
\[\int_0^a\frac{1}{x}\mathrm{d}x=k \log y\]这个发现表明，\(y=\frac{1}{x}\)曲线下的面积和y的对数成正比。
William Oughtred认为，如果采用合适的数为底的话，就可以约去比例因子k。从而上式可变为：
\[\int_0^a\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x\]他将这样形式的对数，称为自然对数。这实际上就是\(\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\)节省计算量的原因。
William Oughtred，1575~1660，英国数学家。他对数学符号的发展产生很大的影响，现行的大于、小于符号就是他的发明。
到了John Bernoulli时代，积分问题扩展到如下形式：
\[\int\frac{\mathrm{d}x}{ax^2+bx+c}\tag{2}\]显然，这类问题可以通过配方换元法，转换成公式1的形式。然而，其中的要害在于，求解方程\(ax^2+bx+c=0\)，而这个方程的解，有可能为复数。
出于解方程的需要，John Bernoulli系统研究了\(\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\)的性质，并认为它是一个重要的常数。这个思想明显影响了他的学生Euler。
除此之外，在求解公式2的特例：
\[\frac{\mathrm{d}x}{b^2+x^2}\tag{3}\]John Bernoulli发现，可以令\(x=\sqrt{-1}b(t-1)/(t+1)\)，从而上式变为：
\[\frac{-\mathrm{d}t}{\sqrt{-1} \cdot 2bt}\tag{4}\]公式3的积分是\(\arctan\)，而公式4的积分是一个虚数的对数。利用这种方法，可以建立三角函数和虚数对数之间的关系。
这里需要指出的是，John Bernoulli对于复数的理解仍停留在Cardano的水平，这里的虚数对数和后面提及的复数指数、复数对数在内涵上是不同的，仅仅是种解方程的技巧而已。
1740年，Euler发现\(y=2\cos x\)和\(y=e^{\sqrt{-1}x}+e^{-\sqrt{-1}x}\)是同一个微分方程的解，因此它们应该相等。
1743年，Euler进一步指出：
\[\cos x=\frac{e^{\sqrt{-1}x}+e^{-\sqrt{-1}x}}{2},\sin x = \frac{e^{\sqrt{-1}x}-e^{-\sqrt{-1}x}}{2\sqrt{-1}}\]最后，在1748年，Euler指出：
\[e^{ix}=\cos x + i \sin x\]虚数符号i虽然也是Euler的发明，但那是1777年以后的事情了。这里用的是现代的表示方法。
这个结果最早是Roger Cotes于1714年发现的，Euler算是重新发现。
从牛顿到John Bernoulli、Euler，无穷数列成为当时数学家的一项工具。上述等式中很多都是基于函数的无穷数列展开式的性质得出的。
但与现在主要采用泰勒展开式不同，当时更知名的展开公式是牛顿发明的二项式定理，泰勒展开式用的并不多。
复变Euler公式
Euler时代，人们虽然对于复数的性质做了颇多的探索，但仍难以逃脱“复数是解方程的技巧”的束缚。这主要体现在两个方面：
1.尽管Euler晚年已经有复平面的概念，但他对复数的几何意义研究甚少。在他看来，为复数这种因解代数方程而引入的技巧，提供一种几何解释，是一件不太自然的事情。
2.复数的实部和虚部是分开处理的，用途局限于求解实变量微积分。最典型的例子就是，Euler时代的Euler公式，其自变量x是实数。
之后，随着复平面、复数的向量表示逐渐被人接受，人们开始倾向于接受复数是一种数，而不仅仅是一种解方程的技巧。
在复数的系统化中，做出最大贡献的，当属Augustin-Louis Cauchy。
具体到Euler公式，Cauchy针对复变函数的特性，定义了如下规则：
\(f(z)\)为一复变函数，且满足：
1.\(f(z)\)在复平面内处处解析。
2.\(f'(z)=f(z)\)。
3.当\(Im(z)=0\)时，\(f(z)=e^x\)，其中\(x=Re(z)\)。
最终符合这一条件的函数为：
\[e^x(\cos y + i \sin y)\]因此，复变Euler公式为：
\[e^z=e^x(\cos y + i \sin y)\]可见，与原始的Euler公式不同，复变Euler公式不是证明出来的，而是定义出来的。
总结
1.Cardano解三次方程发明虚数。
2.高次幂运算催生对数表。
3.对数表的编制过程中，发现了e。
4.Euler根据无穷数列展开式，发现Euler公式。
5.Cauchy定义了复变Euler公式。
参考：
《古今数学思想》
《不可思议的e》
Other
正文的考古工作到此结束，下面写一些相关的冷知识。
\[e^i=\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{i}{n} \right)^n\]如果\(e^{i\theta}\)表示幅角为\(\theta\)的单位向量，那么\(e^{i\omega t}\)就表示角速度为\(\omega\)的旋转单位向量。
参考
https://mp.weixin.qq.com/s/kwfA7CqBz1myyUR3NBKp1g
虚数i是真实存在的吗？
https://mp.weixin.qq.com/s/4fccUusfRQ7KYhIKWVy38w
如何用图示来优雅地解释复数的意义？
