古希腊三大数学书（一）
2016-08-07古希腊三大数学书
2016.8.6
《几何原本》、《阿基米德全集》和《圆锥曲线论》被称为古希腊三大数学书，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就。
几何原本
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得（Euclid）所著（约公元前300年），它是三大数学书中最早编写，影响也最大的书，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。它是古典几何学的集大成之作，也是几何学成熟的标志。欧几里得也被称作“几何之父”。
《几何原本》共15卷。其中前6卷，由明代数学家徐光启和意大利传教士利玛窦合作翻译成中文，于1607年刊行。
徐光启本欲再接再厉，完成后9卷的翻译，但因故中止。中止的原因有两种说法：
1.徐光启父亲去世，他需要回乡丁忧。
2.利玛窦决定先放一放，看看前6卷出版后的效果如何，再做进一步的打算。
无论原因如何，最终的结果就是，等到徐光启想继续翻译的时候，利玛窦已经于1610年去世了，于是这项工作只好中止。谁也没想到这一中止，就是250年。
徐光启不但学问高，官也做的大，最高做到礼部尚书兼文渊阁大学士、内阁次辅，相当于皇帝、内阁首辅之下的第三号人物。
清朝末年，清代数学家李善兰和英国传教士伟烈亚力合作，将后9卷译成中文（1857年）。
参考：
https://mp.weixin.qq.com/s/1IaathVCnKmLHUEwwF31Vw
中国学生的最大噩梦，都来源于这个男人（徐光启）
https://mp.weixin.qq.com/s/SaIHpwMf1KGhAicXznhfog
大明名臣的甘薯与“魔都”的烟火气
阿基米德全集
Archimedes of Syracuse，公元前287年~公元前212年，古希腊哲学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，享有“力学之父”的美称。《阿基米德全集》是后人收集的阿基米德的著作集。
欧几里得已经发现，球的体积和半径的立方成正比，然而他并没有求出这个比。阿基米德将欧几里德提出的趋近观念作了有效的运用，他利用“逼近法”算出球表面积、球体积、抛物线、椭圆面积等。此外，他还提出了阿基米德螺线。
圆锥曲线论
《圆锥曲线论》是由阿波罗尼奥斯（Apollonius，约公元前200年）所写的一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平。一共8大卷，前4卷的希腊文本和其次3卷的阿拉伯文本保存了下来，最后一卷遗失。
如果说《几何原本》主要讨论的是直线问题的话，《圆锥曲线论》则将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。直到17世纪，以B．帕斯卡(Pascal)、R．笛卡儿(Descartes)为首的解析几何派，才在这方面有实质性的推进。
这里值得一提的是，《几何原本》并不是欧几里得的最高成就。现在普遍认为，这只是他写给学生的课本而已。书中的内容，大部分也不是欧几里得的独创，而是之前的数学家泰勒斯（Thales）、毕达哥拉斯（Pythagoras）和欧多克索斯(Eudoxus)的成果。
同样的，《圆锥曲线论》也不全是阿波罗尼奥斯的成果。阿波罗尼奥斯声称，前4卷主要是欧几里得和他学生们的成果，只有后4卷才是他的研究成果。
古希腊数学思想和现代数学思想的差异
以《几何原本》为代表的古希腊数学，其水平基本相当于现在的中学数学，但又不完全相同。
首先，数学的各个分支起点不同，方式方法的差异也非常明显。
算术
包含计数、进制、四则运算、分数、小数等内容，基本对应小学算术课的内容。算术作为人类数学知识的起源，其历史可追溯到原始社会末期。古代各主要文明，都几乎独立的推演出自己的算术体系，但实现方式差异较大。
比如进制，巴比伦采用60进制，玛雅采用20进制，其他地区则普遍采用10进制。
比如乘法，九九表和进位算法的结合，直到现在仍是中国的专利。欧美普通民众离了计算器，连乘法都算不利索。
几何
几何学的历史和算术几乎同样悠久，其历史可追溯到公元前3000年的原始社会末期或奴隶社会早期。
相比于算术的抽象，初等几何学的直观性不言自明。也由于这样的直观性，古代各主要文明在几何学上的方法或结论，倒基本一致。这里的初等几何学，包括基本平面几何图形（点、直线、三角形、四边形、圆）的性质、长度和面积的计算，也就是现在小学几何的内容。虽然各主要文明发展有先后快慢，但在公元前1000年左右，基本上都解决了这些问题。
然后就进入了所谓的古典几何学时代。与先前时代的齐头并进不同，这个时代的成果，绝大多数都归功于古希腊数学家，其代表就是古希腊三大数学书。
古希腊数学的成功不是偶然的。随着古代生产力的进步，人类的触角离开了埃及和两河流域，延伸到地中海，尤其是东地中海沿岸。波斯对埃及的征服，以及稍后亚历山大对波斯的征服，客观上促使了东地中海文明的形成。这个时代在历史上也被叫做希腊化时代。
“古希腊数学家”这个称呼，实际上并不准确，多数被冠以该头衔的人，并不生活在希腊本土。比如欧几里得主要生活于亚历山大，而阿基米德居住在叙拉古。这个称呼本身更多的表明，他们是之前整个西方文明的集大成者。
古典几何学时代的成果，主要集中在以下几个方面：
1.比例论和勾股定理。
比例论和勾股定理，虽然都不是毕达哥拉斯最早发现的，但却是他所在的毕达哥拉斯学派将之发扬光大的。
注：比例论最早的发现者无法考证，但相传希腊七贤之一的泰勒斯，曾根据相似三角形原理，利用影子测量了埃及金字塔的高度。至于勾股定理，古代中国人、埃及人和巴比伦人都发现过。
比例论导致了分数的发明，而勾股定理导致了无理数的发现。
2.初等数论。
无理数的发现，促使人们进一步将几何知识应用于算术领域，从而导致了初等数论的形成。
比如，徐光启选择翻译《几何原本》的前6卷，其实是有原因的。因为7～10卷，实际上是数论的内容。其中最有名的命题，就是证明最大的质数是不存在的（也可理解为质数的个数是无限多个）。
但和现代数论主要偏向于代数不同。古希腊数论，基本采用几何思想解决代数问题，这也是它有别于其他文明的地方。
3.立体几何。
最主要的贡献是球体积和表面积的计算，其解决思想中蕴含着现代的微积分思想的萌芽。
4.圆锥曲线
这是古希腊的独门绝活，其他文明从未系统研究过该类问题（不排除有零星的研究成果）。
5.特殊曲线和三大作图问题
希腊数学家还发明一些特殊曲线，如希庇亚斯（Hippias）发明的割圆曲线、阿基米德发明的螺线、尼科梅德斯（Nicomedes）发明的蚌线和狄奥克勒斯（Diocles）发明的蔓叶线。
这些曲线对于求解三大作图问题，很有帮助。事实上，如果不限定尺规作图的话，三大作图问题在古典时代已经被圆满解决。
这部分内容超出了中学数学的内容。
6.三角学
海伦（Heron）提出了已知三角形三边长度，求三角形面积的公式，即海伦公式。比中国的秦九韶发现类似公式早了1200年。
海伦公式最早是阿基米德提出的，Heron只是获得了冠名权。然而，Heron毕竟不是洛必达，他本人也是大牛，不仅会几何，还在代数、地图学、机械学方面有诸多贡献。在代数上，和丢番图齐名，而在地图学上，则是Eratosthenes之后最牛的地图学家。基本就是一个缩小版的阿基米德。
托勒密（Ptolemy）研究了球面几何的性质，给出了一些后世的黎曼几何空间的初等结论。他是三角函数学的集大成者，做出了最早的三角函数表。
中学三角函数的常用性质，如正弦定理、余弦定理、半角倍角公式、和差化积等，最迟在托勒密时代已经被发现，尽管有些是前人的发现（如欧几里得、梅涅劳斯（Menelaus）等）。
7.数学力学
阿基米德从重心和杠杆原理出发，发明了数学力学。这种方法虽然在现代数学中被分类到几何、代数、解析几何等分支，然而的确是一种很有效的方法。
这部分内容同样超出了中学数学的内容。
代数
代数学的历史要晚的多，无论东西方，基本都是公元1世纪产生萌芽，到了公元3世纪才有了初步的雏形。典型代表是中国的《九章算术》和希腊丢番图（Diophantus）的《算术》。
解析几何
解析几何虽然进入了现代中学课本，然而其出现的历史非常晚，一般以1637年笛卡尔发表的《几何学》作为解析几何诞生的标志。
微积分
中学课本中的微积分知识，非常初步，并不见得比阿基米德、刘徽高明多少，不提也罢。
概率论
概率论出现的时间，略早于解析几何，以Girolamo Cardano的《论赌博游戏》为标志。Cardano也是三次方程和四次方程代数解的发现者，详见本人所写的《一元三次方程求根公式的恩恩怨怨》。
中学课本中的概率论，虽然只是古典概率论的部分内容，但的确超出了古希腊数学家的认知范畴。
大家可能注意到了，我在介绍中学代数和解析几何的时候，并没有给出“超出了古希腊数学家的认知范畴”这样的结论。这是因为，虽然欧几里得等人没有代数和解析几何这样的数学工具，但是仅仅利用几何学知识，完全能够解普通的一次或二次方程。事实上，这也是西方在丢番图之前，解方程的标准做法，丢番图算是一个另类了。
同样的，开普勒没有利用解析几何，也推出了关于行星运动的三大定律（1619年），这无疑应该归功于阿波罗尼奥斯。
牛顿在《自然哲学的数学原理》中阐述了微积分的思想，他给出的证明也用到了欧几里得和阿波罗尼奥斯的成果。有趣的是，由于笛卡尔在物理上的某个观点是牛顿批驳的对象，所以解析几何被牛爵爷自动无视了。
