math » 数学狂想曲（十九）——哥德巴赫猜想, 肺炎版《黄冈密卷》
2026-04-07 :: 3718 Words哥德巴赫猜想
筛选上限z越逼近\(N^{1/2}\)，误差越大，并超过主项，导致筛法失效。
陈景润把筛选上限降到\(z = N^{1/10}\)，只筛掉极小的素数。
这时候，留在筛子里的数\(N-p\)可能会混入一些合数。p为上述筛选上限内的素数集合。也就是陈氏定理（1+2）中的1。
为了把合数剔除掉，陈景润设计了一个加权计数函数W：
\[W = \sum_{x \in A, \gcd(x, P(z))=1} \left( 1 - \frac{1}{2} \lambda_1(x) - \frac{1}{2} \lambda_2(x) \right)\]这里的\(\lambda_1(x)\)和\(\lambda_2(x)\)是根据x的素因子大小精心设计的惩罚项：
- 如果x是一个纯素数（即“1”），权重计算出来是+1（正贡献）；
- 如果x是两个素数的乘积（即“2”），权重计算出来也是大于0的正数（正贡献）；
- 如果x是三个或更多素数的乘积（比如“3”或“4”或更多），权重计算出来就会变成负数（负贡献，直接在总和里被扣除）！
陈景润通过极其复杂的解析数论技巧（结合了大筛法不等式），最终算出了这个总权重W的下界大于0，这就说明：集合中必须存在正贡献的元素！
也就是说，\(N-p\)要么是一个素数，要么是两个素数的乘积。
当你试图把“2个素数乘积”也作为合数扣除掉时，加权公式里的正负项平衡被彻底破坏了。
因为奇偶性难题的存在，筛法用的刘维尔函数在应对“1个素因子”和“2个素因子”时，在筛法不等式里的上下界系数完全是对称的。
一旦算不出\(W>0\)，整个逻辑链条就断了，就无法证明筛子里到底有没有剩下素数。这就是为什么“1+2”已经是筛法的极限的原因。
圆法这套工具，是哈代（Hardy）和李特尔伍德（Littlewood）在20世纪初发明出来的，后来拉马努金和维诺格拉多夫也对它做出了贡献。
如果说筛法是在拿筛子滤数字，那圆法就是在做信号分析。它的核心思想是，把“寻找两个素数相加等于偶数N”这个问题，转换成在复平面单位圆上算一个波形函数的积分。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了“奇哥德巴赫猜想”（任何大奇数都能写成三个素数之和，即“1+1+1”）。
圆法的关键在于必须要证明：劣弧上的噪声积分，绝对值远远小于主弧上的信号。
如果不出现全新的解析手段来把劣弧上的精确度提高几个数量级，圆法在“1+1”面前就永远无能为力。
素数是用乘法定义的（除了1和自己，不能被其他数整除）。
但“1+1”问的是加法（两个素数拼出一个偶数）。
无论是黎曼函数，还是狄利克雷L-函数，它们本质上都是通过解析延拓和复分析去挖掘素数的乘法对称性。
黎曼猜想只够保证素数的“乘法分布”很美，但想拿它去攻克哥德巴赫猜想的“双素数加法交叉”，还是不够。
历史上有很多数论硬骨头，最后都不是被数论本身的工具搞定的，而是被隔壁代数几何搞定的。最典型的例子就是张圣容（Audrey Terras，出生于陕西西安的女数学家）和德利涅（Pierre Deligne）利用代数几何解决韦伊猜想，或者怀尔斯（Andrew Wiles）用模曲线攻克费马大定理。
张圣容与同届（1970）的李文卿、金芳蓉、吴征眉合称台大数学系四朵金花。再加上稍后的滕楚莲、萧美琪有台大数学系六朵金花之称。
哥德巴赫猜想本质上是个丢番图方程问题：
\[x + y = N \quad (x, y \text{ 均为素数})\]现在也有数学家尝试把素数构成的代数簇，映射到高维模空间或者算术几何曲线上去。通过研究这些几何曲面上的算术交理论（Arithmetic Intersection Theory），或许根本不需要去算具体的素数有多少个，而是从空间拓扑性质上证明：代表偶数拆分的几何交点，在N>2时数量绝对不可能为零。
这种方法完全绕开了筛法的误差和圆法的劣弧，直接从代数结构上降维打击。
当然，这条路目前最飘渺，连具体的映射框架都还在摸索阶段。
https://www.zhihu.com/answer/2084755661464904875
为什么哥德巴赫猜想难以用传统方法证明？
肺炎版《黄冈密卷》
问题由来：
https://mp.weixin.qq.com/s/dR7fg6PTCVAnezlW6gTY2w
新冠病毒最“强”管控，《黄冈密卷》数学题到底有多难
1.设\(\sqrt{3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)，且x、y、z为有理数，则\(xyz\)=?
解：
\[3+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6} = x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}\]由x、y、z为有理数可得：
\[4xy=2, 4xz=3, 4yz=6\]由于x、y、z在原式中是对称的，所以上式中选择哪个等于2、3、6，都是无所谓的。
三式相乘可得：
\[4^3 \cdot (xyz)^2 = 36\] \[(xyz)^2 = 9/16\] \[xyz = 3/4\]2.设二次函数\(f(x)=ax^2+ax+1\)的图像开口向下，且满足\(f(f(1))=f(3)\)，则\(2a=?\)
解：
令\(y=2a\)，则\(f(1)=2a+1=y+1\)
\[f(f(1))=f(y+1)=f(3)\] \[a(y+1)^2+a(y+1)+1=9a+3a+1\] \[(y+1)^2+(y+1)=12\] \[y^2+3y-10=0\] \[(y+5)(y-2)=0\]因为图像开口向下，所以\(2a=-5\)。
最近，黄冈再次因数学题而火爆网络。
以下是2020黄冈中考数学第16题：
求上图扇形一边的中点P，在扇形滚动一周的过程中，所经历的路径的长度。
显然，第1，3，4段都是圆弧，难就难在第2段（绿色）了。这条曲线可不是那么好求的，普通的本科高数都搞不定它。必须出动椭圆积分才行。
https://www.zhihu.com/question/408523403
如何解答2020黄冈中考数学第16题？
小学能接受1/3这种无限循环小数，初中能接受根号，高中能接受ln(2)，那大学的精确解为什么不能接受椭圆函数。
https://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheSecondKind.html
Elliptic Integral of the Second Kind
这里有个上面动图的GeoGebra版本：
https://github.com/antkillerfarm/antkillerfarm_crazy/blob/master/geogebra/huanggang.ggb
《椭圆函数及其应用》 高本庆 著
https://mp.weixin.qq.com/s/FdHstCxJqQ4wYXSRDyqm5A
不敢相信！这份民国时期大学入学考试试卷，竟让170位院士头疼！
数学杂谈
弹球是展示Zeno现象的最简单模型之一。一般来说，Zeno行为的特征可非正式地表示为某些混合动力系统（Hybrid System）在有限时间间隔内发生无限数量的事件。在弹球模型中，球在失去能量的同时，将以越来越小的时间间隔与地面发生多次碰撞。因此，模型会经历Zeno行为。
https://ww2.mathworks.cn/help/simulink/slref/simulation-of-a-bouncing-ball.html
https://blog.csdn.net/handsomeswp/article/details/109535534
Python动画没有秘密
加拿大英属哥伦比亚省存在着过分多的零售商彩票中奖现象，并且他们的彩票系统存在“零售商试图欺骗顾客的行为”；新斯科舍省的大西洋彩票公司零售店主在2001-2006年期间赢得了448个重大（25,000美元以上）彩票奖项中的22个。而在全凭运气的情况下，计算得出他们预计赢得的奖项的数量应该仅比1个略多一点。而且，22次中奖中有18次是由独立经营的彩票零售店店主所为，这再次表明大部分彩票欺诈行为发生在这一类人群中。
https://mp.weixin.qq.com/s/yim7DxwM_oj8RRNS7UT9Mg
“小概率”引发的加拿大彩票历史上的“大事件”
在统计学理论的估计中，用不放回抽样来估计离散型均匀分布最大值问题中著名的德国坦克问题（German tank problem），它因在第二次世界大战中用于估计德国坦克数量而得名。
根据常规盟军情报的估计，德国每月大约能生产1,400辆坦克。而通过统计被缴获或被摧毁的坦克的序列号（该序列号连续），计算出每月246辆。战后，从阿尔伯特·斯佩尔所管辖的部门缴获的德国生产记录显示，实际数目是245辆。
实际上德国坦克的编号并不连续，但变速箱、底盘或发动机号码露出了破绽，即使到了80年代，还有通过水箱序列号来估计生产量的例子。
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