一元三次方程求根公式的恩恩怨怨
2016-03-16一元三次方程求根公式的恩恩怨怨
一元三次方程的求根公式，算的上是16世纪上半叶最重要的数学发现。我对它最初认识来源于下面这篇文章。
数学史上一大冤案
中世纪的意大利，盛行在街头打数学擂台，数学斗士们各向对手交一批数量不等的难题，谁先作出正确的解答，谁就是优胜者。
尼古拉·塔尔达利亚便是其中的佼佼者，享有“不可战胜者”盛誉。一次，大富豪费奥里向一位教师要到了三次方程的秘密解法，向塔提出挑战，塔尔达利亚为赢得这次胜利，闭门谢客，苦苦琢磨，终于找到了三次方程的新解法，并在随后的比赛中又一次轻取桂冠。
这时，一个名叫卡尔丹诺的科学骗子找到塔尔达利亚，狂妄地自称他有四万项发明，只有三次方程式才是他唯一的不解之迷，并为此痛不欲生。在卡尔丹诺甜言蜜语的哄骗下，诚实而善良的塔尔达利亚便毫无保留地将自己的新发现告诉了他。
几天后，卡尔丹诺发表了一篇论文阐述三次方程式新解法，大言不惭地宣称，这是他的最新发现。塔尔达利亚被激怒了，他向卡尔丹诺提出挑战，并把骗子派来的数学高手击得惨败。然而，在一个没有星光的夜晚，塔尔达利亚被骗子收买的亡命之徒秘密刺杀了。
塔尔达利亚消逝了，他对三次方程式新解法的卓越贡献也被一笔抹煞，以致在今天的不少数学著作中，他的发现仍被称为“卡尔丹诺公式”。
——资料来源：《羊城晚报》1986年11月20日第三版
这个故事的情节怎么样？励志的主角，阴险的敌人，是不是很有武侠小说中的江湖气息？然而，真实的情况是怎样的呢？
Round 1
首先，费奥里(Antonio Fiore)是不是富豪，无从考证，但他本人绝不是如阿凡提故事中的巴依老爷之类的弱智土财主。他的老师，有名的数学家Scipione del Ferro(1465–1526)，发现了形如\(x^3+mx=n\)，这样一类特殊方程的求根公式，但他秘而不宣，直到临死的时候，才将方法告诉了他的得意弟子Fiore。这种藏私的传统，虽然是当时的普遍做法，但却是后面所有纷争的起点和根源。
江山代有人才出，过了几年，到了1530年的时候，一个叫尼古拉·塔尔达利亚（Niccolò Tartaglia,1499-1557）的人，声称自己找到了一元三次方程的一般求根公式。这自然引起了Fiore的注意。于是，一场决斗开始了。
Tartaglia顺利的解出了对手的问题。而Fiore却只解出了部分问题，另外一部分形如\(x^3+mx^2=n\)的方程，显然超出了Ferro方法的范围，因此，Fiore解不出来了。
Round 1:Tartaglia Win.
Round 2
接下来，卡尔丹诺同志（Gerolamo Cardano,1501-1576）出场了。1539年，在Cardano的恳求下，Tartaglia将自己的发现告诉了前者，但同时附加了一个条件：Cardano不能将该发现公开，而要给出足够的时间，以便Tartaglia自己发表该发现，从而获得相关的荣誉。
时间一晃就到了1545年，Tartaglia仍然没有发表该发现的迹象。Cardano等不及了，他的著作《Ars Magna》亟待出版。这本书是那个时代，代数学的集大成之作。Cardano不仅给出了一元三次方程的求根公式，还首次指出了重根的存在。其中最大的贡献是给出了虚数的定义，这可是非常超前的概念，要知道那个时代，连负数都没有被科学界普遍认可。当然，这时的虚数，仅仅是Cardano的一种数学技巧，就连Cardano本人也不认为它们是真实的数。只有到了欧拉，甚至柯西的时代，才真正给虚数找到了它存在的意义。
为了遵守和Tartaglia的约定，Cardano从Ferro方法出发，给出了另一种有别于Tartaglia的推导过程，而且他在书中提到，这是在Tartaglia的启发下作出的。但这种回避方法，并不能被Tartaglia所接受。于是，新的决斗开始了。
代替Cardano出战的，是他的仆人兼学生Lodovico Ferrari(1522–1565)。Ferrari是那个时代最天才的数学家，他不仅掌握了一元三次方程求根公式，还在此基础上，研究出了一元四次方程求根公式。于是，这场决斗的结果也就不难猜测了，Tartaglia完败。
Round 2:Tartaglia Loss.
经此一役，Cardano奠定了他的江湖地位，数学界将他给出的一元三次方程求根公式，称为Cardano公式。看起来Tartaglia有点冤，但其实也不冤。Cardano不仅是一元三次方程求根公式的首个公开发表者，而且从《Ars Magna》所体现的数学思想上，也明显超过同时期的其他数学家。
刺客的说法，更是荒唐。Tartaglia可不是街头混混那样的底层人士，他当过出版商、城堡建筑师和土地测量员，怎么说也是社会上层人士，哪是Cardano想杀就能杀的。Tartaglia在决斗失败之后，也并没有继续纠缠下去，直接愿赌服输了。
反倒是决斗的胜利者Ferrari结局不太好，传闻他是被他的姐姐谋害的，死时年仅42岁。这会不会就是《羊城晚报》上那个骇人听闻故事的源头？
PS：以上内容，均出自维基百科的相关词条。
本来以为一元三次方程求根公式的恩怨到此为止了，没想到在最近这些年，又出了新的变故。
1989年，一个叫范盛金的人，改良了Cardano公式，创制了以自己名字命名的“盛金公式”。
2012年，另一个叫谢国芳的人，也改良了Cardano公式，是为“谢国芳公式”。
然后就热闹了，双方以以下帖子为战场，展开了大论战：
http://bbs.sciencenet.cn/thread-1125144-1-1.html
http://bbs.cnool.net/cthread-103961152.html
http://bbs.sciencenet.cn/thread-42507-1-3.html
http://bbs.sciencenet.cn/thread-8658-1-1.html
从上面的论述，大概可以看出：
1.谢国芳公式对于复数域处理的较好，谢的回复也算是言之有物的。但是否是最优，或比盛金公式强，实际上很难说。
2.盛金公式形式上比较繁琐，竟然有9种情况需要讨论，且只能处理实系数。而范盛金的回复，词汇极度贫乏，只会翻来覆去的说“胡说八道”。
3.由于这两个公式，都脱胎于Cardano公式，因此几乎无法避免形式上的类似之处。诸如“剽窃抄袭”之类的口水仗，打得没完没了。终于有个网友看不下去了，提出了“鲍赫公式”。这显然有恶搞的成分：你们抄Cardano公式，还吵得这么NB，我也抄一把献献丑。
4.最后，一个叫孙克纯的人出现了。他的言论如下：
http://wenku.baidu.com/view/abe9560c71fe910ef02df815.html
数学杂谈
加拿大英属哥伦比亚省存在着过分多的零售商彩票中奖现象，并且他们的彩票系统存在“零售商试图欺骗顾客的行为”；新斯科舍省的大西洋彩票公司零售店主在2001-2006年期间赢得了448个重大（25,000美元以上）彩票奖项中的22个。而在全凭运气的情况下，计算得出他们预计赢得的奖项的数量应该仅比1个略多一点。而且，22次中奖中有18次是由独立经营的彩票零售店店主所为，这再次表明大部分彩票欺诈行为发生在这一类人群中。
https://mp.weixin.qq.com/s/yim7DxwM_oj8RRNS7UT9Mg
“小概率”引发的加拿大彩票历史上的“大事件”
一个函数的八阶导数等于其本身，并且其2-7阶导数均不等于他本身，这个函数的表达式可以是怎样的？
f(x)=exp(exp(iπ/4)*x)
此函数在复平面上求导时会转呀转，八下转一圈，刚好回到原点。
在统计学理论的估计中，用不放回抽样来估计离散型均匀分布最大值问题中著名的德国坦克问题（German tank problem），它因在第二次世界大战中用于估计德国坦克数量而得名。
根据常规盟军情报的估计，德国每月大约能生产1,400辆坦克。而通过统计被缴获或被摧毁的坦克的序列号（该序列号连续），计算出每月246辆。战后，从阿尔伯特·斯佩尔所管辖的部门缴获的德国生产记录显示，实际数目是245辆。
实际上德国坦克的编号并不连续，但变速箱、底盘或发动机号码露出了破绽，即使到了80年代，还有通过水箱序列号来估计生产量的例子。
弹球是展示Zeno现象的最简单模型之一。一般来说，Zeno行为的特征可非正式地表示为某些混合动力系统（Hybrid System）在有限时间间隔内发生无限数量的事件。在弹球模型中，球在失去能量的同时，将以越来越小的时间间隔与地面发生多次碰撞。因此，模型会经历Zeno行为。
https://ww2.mathworks.cn/help/simulink/slref/simulation-of-a-bouncing-ball.html
https://blog.csdn.net/handsomeswp/article/details/109535534
Python动画没有秘密
普渡大学的莫宗坚，祸害了张益唐，又坑了施皖雄。
去美国前，张益唐本想师从丘成桐，结果却因为学术圈恩怨的问题，阴差阳错的来到普渡大学跟着莫宗坚。莫先推荐张益唐研究雅克比猜想。虽然第一年张益唐就完成了大部分猜想证明工作，只剩个引理需要论证，莫导却告诉他，这个引理应该没问题，先放一放，去搞另一个项目吧。
结果课题就一直拖着，直到1992年，博士已经读了七年的张益唐才勉强混到Phd毕业。因为那个引理一直没能得到证明，张益唐七年一篇论文都没有发表，毕业论文只能算作一篇conditional proof。
更可气的是，莫宗坚不给张益唐写推荐信，间接导致了张益唐找不到教职工作，博士毕业即失业，今后的七年张益唐只能在饭店打工为生。
而施皖雄博士毕业后，多个名校抛出橄榄枝，加州大学圣地牙哥分校甚至直接聘他做助理教授（直到今天，该校数学系的助理教授都能升等为长聘教授）。结果“不知道莫宗坚用什么甜言蜜语，说服了施放弃了圣地牙哥而选择普渡”。
坑人的是，普渡大学在考虑施皖雄的终身教职的时候，“游说施皖雄应聘的莫宗坚没有说出一句挽救的话”，再次导致一位优秀的华人数学家离开学术圈，真是毁人不倦啊。据张益唐在一次访谈中说，莫宗坚对待大陆学生的态度比较轻蔑，甚至说过“大陆学生没有一个能行的”。
